WisFaq!

Matrix tot een bepaalde macht verheffen

Hallo,
Graag had ik geweten hoe ik een matrix tot een bepaalde macht verhef ZONDER gebruik te maken van een grafische rekenmachine.
vb: Bereken A^10 als

    0 1 1
A = 1 0 1
    1 1 0

Wim
8-12-2005

Antwoord

In het algemeen geldt A¹⁰=((A²)²)²×A²
Alleen is in dit geval de matrix A vrij bijzonder:
A is de matrix B:

| | | |	1	1	1	| | | |
	1	1	1
	1	1	1

verminderd met de eenheidsmatrix: A=B-I
Dus A²=(B-I)²=B²-2B+I.
Omdat B²=3B (even narekenen) geldt dus A²=B+I
(A²)²=(B+I)²=B²+2B+I=3B+2B+I=5B+I
((A²)²)²=(5B+I)²=25B²+10B+I=85B+I
((A²)²)²×A²=(85B+I)(B+I)=85B²+86B+I=255B+86B+I=341B+I=

| | | |	342	341	341	| | | |
	341	342	341
	341	341	342

hk
9-12-2005