WisFaq!

Van een algemene vector naar de vergelijking gaan

hoe ga ik te werk om van de algemene vector (bv. van de gedaante (a, a - b, 2a + b) met a, b in ) naar de vergelijking van het vectorvlak (in dit geval 3x₁ - x₂ - x₃ = 0) te gaan

Pieter
24-11-2005

Antwoord

In de meeste gevallen kan je dit op het zicht zien. Maar als je nu met hogere dimensies zou werken kan dat wel eens mis gaan. Dan kan je werken met stelsels: toegepast op dit voorbeeld zoek je een vergelijking van de vorm
dx₁ + ex₂ + fx₃ = 0
Zoek dus d, e en f zodat
da + e(a-b) + f(2a+b) = 0
En dit voor alle a en b.
Splits dit nu op in een deel voor a en een deel voor b (enzovoort als je werkt in hogere dimensies)
a(d+e+2f) + b(-e+f) = 0
Als dit moet gelden voor elke a en b, betekent dit dat de coëfficiënten bij a en b nul moeten zijn. Dus komt dit neer op het oplossen van een homogeen stelsel met twee vergelijkingen en drie onbekenden (of in hogere dimensies n-1 vergelijkingen en n onbekenden). Je zal dus altijd een vrijheidsgraad hebben, en dat is logisch want als je de vergelijking van een vlak met een getal vermenigvuldigt heb je nog steeds hetzelfde vlak.

Hier krijg je d+e+2f=0 en -e+f=0 dus e=f en d+3f=0 dus d=-3f, kies bijvoorbeeld e=1, dan f=1 en d=-3, dan kom je op het vlak -3x₁+x₂+x₃=0.

Groeten,
Christophe.

Christophe
24-11-2005