Hallo,
als je de grafiek f(x)=1/x van x=0 tot x=$\infty$ wentelt om de x-as krijg je een soort oneindig lange vaas. Deze vaas heeft een oneindig groot oppervlak, en als je hem zou willen schilderen zou je oneindig veel verf nodig hebben en zou je oneindig lang bezig zijn.
Je kunt dit echter op een slimmere manier aan pakken, je kunt de vaas vol gieten met verf en daarna weer leeg laten lopen zodat de vaas van binnen geverft is. Om te weten hoeveel verf je nodig hebt om de vaas vol te gieten moet je de inhoud van de vaas bereken:
$\int{}$(f(x))2·$\pi$·dx=$\int{}$(1/x)2·$\pi$·dx=[-(1/x)·$\pi$]=$\pi$·(-(1/$\infty$)--(1/1))=$\pi$ Mijn vraag is: hoe is het mogelijk dat waneer je deze vaas vol giet en weer leeg laat lopen, je zoveel minder verf nodig hebt dan wanneer je met de kwast aan de gang gaat?
JeroenJeroen
16-11-2005
Beste Jeroen,
Om te beginnen misschien de wiskundige achtergrond. We zoeken dus een object waarvan de oppervlakte oneindig is maar de inhoud eindig. Zoals je zelf aangeeft kan dit met de functie f(x) = 1/x. Wel opletten, je mag niet bij x = 0 beginnen zoals je zegt, maar je integreerde het goed vanaf x = 1. We beschouwen dan het omwentelingslichaam door de functie rond de x-as te laten wentelen.
Het blijkt inderdaad uit integratie dat de totale manteloppervlakte hiervan oneindig is (dit gaat immers zoals 1/x, dus geintegreerd krijg je een ln die in $\infty$ nog steeds $\infty$ is) maar de inhoud eindig (want die gaat zoals f(x)2, geintergreerd -1/x dus).
De fout in de analogie met de verf zit in het feit dat dit wiskundig object willekeurig 'dun' zal worden naarmate x groter wordt. Op een bepaald moment zul je dus tot doorsnedes komen die kleinere afmetingen hebben dan verfmolecules of zelfs losse atomen, met andere woorden: de verf kan onmogelijk tot beneden doordringen, terwijl er wel nog steeds een deel van het mantaloppervlak is.
mvg,
Tom
td
16-11-2005
#41602 - Oppervlakte en inhoud - Leerling bovenbouw havo-vwo