WisFaq!

Euler, gamma

op de site http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html staan een heleboel functies gedifinieerd in reeksen. bij een aantal reeksen, bijvoorbeeld die van de tangens staat een 'Bernouli number'. Ook staat er bij sommige gammafunctie en 'Euler number' Wat betekenen deze drie 'getallen' en wat wordt er mee bedoelt als er bijv. staat E_n waarin E een euler number is?

Joel
15-11-2005

Antwoord

Beste Joel,

1. De Bernoulligetallen werden ontdekt door Jacob Bernoulli toen hij formules voor de sommen 1^p+2^p+...+n^p wilde opstellen, zie bijvoorbeeld http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html en http://mathworld.wolfram.com/Power.html als je de reeks voor, bijvoorbeeld, de tangens op gaat stellen kom je vanzelf uit op een soort vergelijking waar de Bernoulligetallen oplossingen van zijn, daarom staan die in de formule voor tan(x).

2. De Gammafunctie (hoofdletter Gamma) is een functie die door middel van een integraal gedefinieerd is en die voor natuurlijke getallen precies de faculteiten oplevert: Gamma(n+1)=n!. Verder voldoet hij voor alle x aan de vergelijking Gamma(x+1)=x*Gamma(x) (omdat het vrij makkelijk is te laten zien dat Gamma(1)=1 volgt hier de faculteit-eigenschap meteen). Voor andere x-en is Gamma(x) lastig in een mooie formule te vangen, behalve voor x=1/2: Gamma(1/2)=sqrt(pi). Je kunt nu dus ook Gamma(3/2), Gamma(5/2), enzovoort uitrekenen. Dat helpt dan weer mooi voor de reeks van de inverse van de sinusfunctie (sin^-1 op mathworld, wij schrijven arcsin). Zie http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html voor nog veel meer informatie over die functie.

3. Eulergetallen ken ik zelf niet zo goed maar op http://mathworld.wolfram.com/EulerNumber.html staat eigenlijk dat ze via de reeks voor de secant-functie (dat is trouwens gewoon 1-gedeeld-door-de-cosinus) gedefinieerd zijn. Ik denk dat Euler ze tegenkwam bij het tellen van bepaalde permutaties en dat hij ontdekte dat ze iets met de secant te maken hebben.

Ik hoop dat je hier wat mee geholpen bent en dat je lekker blijft grasduinen in de wiskundige wereld.

Groeten,

kphart
17-11-2005