WisFaq!

Re: Afgeleide arctan bewijzen

Ik heb geen idee hoe ik gebruik zou moeten maken van deze hint. Ook wilde ik even benadrukken dat het om de afgeleide van de arctangens gaat en niet om de afgeleide van de tangens.

kees
31-10-2005

Antwoord

Je hebt de functie y(x)=arctan(x).
Verder weet je dat tan(y(x))=x, immers de functies tan en arctan zijn elkaars inverse.
Verder weet je dat de afgeleide van de functie tan(x) gelijk is aan 1/cos²(x)=tan²(x)+1
Je wilt nu de afgeleide van de functie y(x) bepalen.
Je neemt de hulpfunctie h(x)=tan(y(x))=x
Aan beide zijden differentieren levert:
h'(x)=(tan²(y(x))+1)*y'(x)=1 (kettingregel).
Omdat tan(y(x))=tan(arctan(x))=x krijgen we dus:
(x²+1)*y'(x)=1, dus
y'(x)=1/(x²+1)
Snap je?
Het kiezen van de meest geschikte vorm van de afgeleide van de tangens is hier dus wel van belang.

P.S. bestudeer nog eens de bepaling van de afgeleiden van arcsin en arccos want uit je reactie heb ik de indruk dat je het belangrijkste facet uit die afleidingen hebt gemist.

hk
31-10-2005