WisFaq!

Integratiefactor

dy/dx + 3y = 2x·e^-3x

Integratiefactor is: e^$\int{}$3dx=e^3x
Vermenigvuldigen met integratiefactor geeft:

e^3xdy/dx + 3ye^3x = $\int{}$2x dx = x²+ C
Volgens het boek is het juiste antwoord (x²+ C)/e^3x, maar ik kom op wat anders uit?

e^3x·3ye^3x = 3ye^6x= X²+ C
Als ik nu de y vrijmaak, levert dat niet de (x²+ C)/e^3x

Wouter
25-10-2005

Antwoord

y'(x) + 3y(x) = 2x·e^-3x.
Laten we beide leden met de nog onbekende functie g(x) vermenigvuldigen...
g(x)·y'(x) + 3y(x)·g(x) = 2x·e^-3x·g(x)

Als g'(x) = 3·g(x) dan is g'(x)/g(x) = 3 (met g(x)¹0, hoewel dit wel een oplossing is). Links en rechts integreren levert ln|g(x)| = 3x + c dus g(x) = e^3x·±e^c. De tweede factor is een constant getal laten we dit a noemen, dan is de integrerende factor g(x)=ae^3x.

Dus g(x)·y'(x) + 3y(x)·g(x) = 2x·e^-3x·g(x)
= (y(x)·ae^3x)' = 2ax
Links en rechts integreren levert
y(x)·ae^3x = ax² + d
En dus y(x) = (^{x2 + d/a})/_e^3x
Noemen we d/a even C dan is de oplossing y(x) = ^{x2 + C}/_e^3x.

Als iets onduidelijk is, kun je reageren op dit antwoord.

Groetjes,

Davy.

Davy
26-10-2005