WisFaq!

Meetkundige plaats

Hallo wisfaq,
Graag wat uitleg over volgend probleem.Ik geraak er niet uit!
Neem een scherphoekige driehoek ABC die niet gelijkzijdig is en waarbij|BC| de kleinste zijde is.Wat is de meetkundige plaats van een inwendig punt P waarvoor geldt dat de som van de afstanden van P tot de zijden constant is.
Graag een oplossing aub,als het kan.
Groeten

lemmens hendrik
12-10-2005

Antwoord

dag

Ik zal je een eindje op weg helpen.
Noem de lengtes van de zijden van de driehoek a, b en c (op de voor de hand liggende manier).
Dan volgt uit het gegeven, dat a hiervan de kleinste is.
Neem nu een punt P in het inwendige van de driehoek.
Noem p_a de afstand van P tot BC
Noem p_b de afstand van P tot CA
Noem p_c de afstand van P tot AB
Kun je nu aantonen dat a·p_a + b·p_b + c·p_c gelijk is aan tweemaal de oppervlakte van driehoek ABC?
Een dergelijke formule geldt voor elk ander punt in het inwendige.
Neem nu een punt Q met dezelfde afstandensom als P.
Kun je aantonen dat (b-a)·q_b + (c-a)·q_c een constante is?
Kun je daarmee de meetkundige plaats vinden?
succes,

Anneke
13-10-2005