WisFaq!

Bewijs leveren van een monotoon dalende rij

Het volgende is gegeven: a_n=(Ö(n)-Ö(n²-1))
Na de eerste 4 termen uit te werken, neem ik aan dat de rij monotoon dalend is, nu moet ik dit echter nog bewijzen. Ik moet dus bewijzen dat a_na_n+1. Ik heb echter problemen met de wortels...

Butt-Head
2-10-2005

Antwoord

Hallo

Je kunt dit bewijzen door aan te tonen dat het teken van a_n-a_n+1 steeds positief is. Dit levert inderdaad een nogal ingewikkelde wortelvorm op.
Je kunt hier echter de rij ook beschouwen als een functie f(n) voor n1.
Om aan te tonen dat deze functie steeds dalend is, kun je aantonen dat haar afgeleide steeds negatief is.
De afgeleide f'(n) = ¹/_2Ö(n) - ⁿ/_Ö(n²-1)
Om hiervan het teken te bepalen moet je deze twee breuken op gelijke noemer zetten. Deze noemer is een product van vierkantswortels en dus steeds positief. In de teller krijg je dan een verschil van twee vierkantswortels : Ö(n²-1)-Ö(4n³).

Vermenigvuldig nu deze teller (en dus ook de noemer) met zijn toegevoegde tweeterm [(a-b)(a+b)=a²-b²]. Hierdoor wordt de teller rationaal.

In de noemer is er nu een som van twee vierkantswortels bijgekomen. De noemer blijft dus steeds positief.

Het is nu gemakkelijk aan te tonen dat de teller (-4n³+n²-1) steeds negatief is voor n1.

Vermits de teller steeds negatief is en de noemer steeds positief is, is de afgeleide steeds negatief en de functie (en dus ook de rij) steeds dalend.

LL
5-10-2005