WisFaq!

Primitieve van sinxcosx

Ik heb deze functie op 2 manieren opgelost.

Uit de eerste methode (partieel integreren) kwam er 1/2 (sinx)^2 + C uit

Met de tweede methode (gebruik gemaakt van 1/2 * 2 sinx cosx = sinx cosx = 1/2 sin 2x) kwam ik -1/4 cos(2x)+ C uit.

Volgens mij zijn beide antwoorden goed. Maar dat zal betekenen dat 1/2 (sinx)^2 + C = -1/4 cos 2x + C

Stel ik neem voor x=0 en deze vul ik in de vergelijking. Dan krijg ik 0 + C= -1/4 + C.
Ik had verwacht dat bij integreren de constante C willekeurig gekozen kon worden. Maar blijkbaar is dat niet zo. Of heb ik ergens een denk/berekeningsfout gemaakt?

Kino
27-9-2005

Antwoord

Beste Kino,

Je hebt geen fouten gemaakt en dat kon je makkelijk controleren door beide resultaten opnieuw af te leiden.

De 'fout' (of beter gezegd, de verklaring) in jouw redenering zit inderdaad in die integratieconstante. Een functie kan namelijk aanleiding geven tot verschillende primitieve functies zoals je hier zelf hebt aangetoond. De onbepaalde integraal kan dus verschillen en is bepaald tot op een constante na. Hoewel we die C zelf 'willekeurig' noemen betekent dit niet dat je in een onbepaalde integraal een waarde kan invullen zodat verschillende primitieven hetzelfde resultaat geven.

Als je echter een bepaalde integraal zou uitrekenen zal je zien dat deze wel hetzelfde zijn, ook al gebruik je de verschillende primitieve functies. Stel dat je twee primitieve functies vindt, F en G, die beiden correct zijn, dan is de bepaalde integraal tussen grenzen a en b gelijk aan F(b)-F(a) = G(b) - G(a), probeer hier maar eens uit!

Dit kan je eventueel inzien door beide primitieve functies te plotten, je zult zien dat ze 'hetzelfde' zijn, alleen is de ene verticaal verschoven.

Ten slotte kan je het ook analytisch zien:
cos(2x) = cos²x - sin²x dus:
-cos(2x)/4 = -(cos²x - sin²x)/4 = -(1-sin²x - sin²x)/4 = -(1-2sin²x)/4 = sin²x/2 -1/4.

Inderdaad, we vinden de andere primitieve functie terug, op een constante verschuiving (-1/4) na, die je dan weer in de integratieconstante kan steken

mvg,
Tom

td
27-9-2005