WisFaq!

Probleem met tekenschema van de afgeleiden van goniometrische functies (verloop)

Hallo!

Ik heb een probleem om het tekenschema van een goniometrische functie op te stellen.
vb. f(x)= sin2x + 2 cosx
Het dom van f, de periode, de nulpunten van f en de afgeleiden f'(x) en f''(x) kan ik berekenen.
Als ik nu een tekenschema maak, hoe weet ik dan dat de fucntie stijgt of daalt over een bepaald interval?
Wat ik al gevonden heb:
f'(x)= -4sin²x - 2sinx +2
f''(x)= -2cosx (4sinx + 1)

x o p/6 5p/6 3p/2 2p

f'(x) ? ? 0 ? 0 ? 0 ? ?
f(x) Hier heb ik reeds de waarden berekent, maar waar stijgt of daalt de functie?

Wat moet er op de plaats van de ?'s komen? + of - ?
HOE WEET IK DAT? HOE VIND IK DAT, AUB HELP!!

Elke Stoffels
25-9-2005

Antwoord

Hallo Elke

Je eerste afgeleide kun je beschouwen als een vierkantsvergelijking in sinx.
De nulpunten zijn
sinx = -1 (1) en
sinx = ¹/₂ (2)
Uit (1) volgt dat x = ^3p/₂ en dit is dus een dubbel nulpunt, dus geen tekenverandeling.
Uit (2) volgt dat x = ^p/₆ en x = ^5p/₆, dit zijn twee enkelvoudige nulpunten met dus een tekenverandering.
Deze nulpunten had je dus ook correct gevonden.

We onderzoeken nu het teken.
Als x = 0 is ook sinx = 0 en is de afgeleide gelijk aan 2, dus positief.
Bij de (enkelvoudige) nulpunten moet je van teken veranderen, dus
van 0 tot ^p/₆ is de afgeleide positief
van ^p/₆ tot ^5p/₆ is de afgeleide negatief
van ^5p/₆ tot ^3p/₂ is ze positief
van ^3p/₂ tot 2p blijft ze positief want ^3p/₂ is een dubbel nulpunt

Je kunt ook als volgt redeneren:
De afgeleide is ook te schrijven als -2.(sinx + 1).(2sinx - 1)
sinx + 1 is steeds positief, behalve als x = ^3p/₂, dan is sinx + 1 = 0
Bepaal nu het teken van 2sinx - 1
Het teken van de afgeleide is het tegengestelde hiervan omwille van de factor -2

LL
25-9-2005