WisFaq!

Niet-lineaire difvgl

De oplossingsmethodes van lineaire differentiaalvgln zijn uitvoerig besproken. In de cursus analyse kwam ik echter volgend probleem tegen :
dy/dt = sin(y(t))/(10000*Pi)
De vraag was niet deze op te lossen, maar te verklaren - inzicht te verschaffen.
Ik heb echter geen idee hoe ik hieraan zou beginnen.
Alle hulp is gewaardeerd.
Dank bij voorbaat
Thomas

Thomas Villa
19-9-2005

Antwoord

Een mogelijke interpretatie van de vraag is:
beschrijf het gedrag van de oploskrommen.

In dat geval:

de horizontale lijnen y=k*pi zijn allemaal grafieken
van oplossingen: vul maar in.
Links komt de afgeleide van een constante, dat is nul en rechts
komt sin(k*pi) en dat is ook nul.
Elke andere oplossing blijft tussen twee van die lijnen:

een oplossing met y(0) tussen 0 en pi is stijgend, omdat sin(y)0 voor
y tussen 0 en pi, en de lijn y=pi is een horizontale asymptoot voor
t naar oneindig (voor t naar -oneindig is y=0 een asymptoot).

als y(0) tussen pi en 2pi ligt krijg je een dalende oplossing
(want sin(y)0 op het interval tussen pi en 2pi)
met y=pi als `voorwaartse' asymptoot en y=2pi als `achterwaartse'
asymptoot.

Dit patroon herhaalt zich als je naar boven of naar beneden gaat in het
ty-vlak.

Wat je hieraan nog ziet is dat y(t)=k*pi (k oneven) een stabiele oplossing
van de DV is en y(t)=k*pi (k even) een instabiele oplossing.

kphart
27-9-2005