WisFaq!

Begrensde verzamelingen

Beschouw de verzameling B = {x Î: x3}
Bewijs de volgende eigenschap: voor iedere y Î B geldt y (y+3)/2 3. Nu snap ik eigenlijk niet waarom ze y gebruiken i.p.v. x. Ook weet ik niet hoe ik dit moet bewijzen.

Beschouw de verzameling C = {(n²-1)/n : n Î} van . Wat is de
grootste ondergrens en heeft deze een bovengrens?

Begrijp ik hieruit goed dat voor n alle natuurlijke getallen ingevuld mogen worden, dus 1,2,3,.... en dat de verzameling C uit alle reele getallen kan bestaan?
Dan zou de grootste ondergrens 1 zijn en zou de verzameling geen bovengrens hebben. Begrijp ik dit goed?

Kunnen jullie helpen?
Bedankt,

loes
14-9-2005

Antwoord

Beste Loes,

Vermits y een element is van B geldt dat y 3.
Als je nu de uitdrukking (y+3)/2 bekijkt kan je 2 dingen doen.

Ofwel vervang je y door 3, maar vermits y altijd kleiner moet zijn dan 3 wordt de uidrukking dan groter, dus: (y+3)/2 (3+3)/2 = 3 = (y+3)/2 3
De tweede keer kan je 3 vervangen door y, maar om dezelfde reden wordt de uitdrukking dan kleiner, dus: (y+3)/2 (y+y)/2 = y = y (y+3)/2

Combineren geeft het gevraagde.

Als we mogen veronderstellen dat we bij n = 1 moeten beginnen dan krijgen we 0, dit is dan de grootste ondergrens. Een bovengrens is er niet, tenzij +¥ maar dat zit niet in . Je begrijpt het inderdaad goed dat alle n uit moeten komen maar dat het resultaat element is van C, een deelverzameling van (in feite zelfs Q want we krijgen alleen maar rationale getallen).

mvg,
Tom

td
14-9-2005