WisFaq!

De afgeleide van f(x)=(x²-5)/(2x-4)

je hebt de functie (x²-5)/(2x-4)
de eerste afgeleide hiervan is 2(x²-4x+5)/(2x-4)²
maar dan de tweede afgeleide vind ik niet
ik bekom -8/(x-2)³ en in de oplossing van de oef staat -1/(x-2)³?

Kim
20-8-2005

Antwoord

We zullen 't eens nader bekijken:

$
\eqalign{
& f(x) = \frac{{x^2 - 5}}
{{2x - 4}} \cr
& f'(x) = \frac{{2x \cdot \left( {2x - 4} \right) - \left( {x^2 - 5} \right) \cdot 2}}
{{\left( {2x - 4} \right)^2 }} = \frac{{4x^2 - 8x - 2x^2 + 10}}
{{\left( {2x - 4} \right)^2 }} = \cr
& = \frac{{2x^2 - 8x + 10}}
{{\left( {2x - 4} \right)^2 }} = \frac{{2\left( {x^2 - 4x + 5} \right)}}
{{4\left( {x - 2} \right)^2 }} = \frac{{x^2 - 4x + 5}}
{{2\left( {x - 2} \right)^2 }} \cr}
$

Je eerste afgeleide is dus wel goed... maar je kan 't wat eenvoudiger opschrijven, zodat de tweede afgeleide ook iets makkelijker wordt:

$
\eqalign{
& f'(x) = \frac{{x^2 - 4x + 5}}
{{2\left( {x - 2} \right)^2 }} \cr
& f''(x) = \frac{{\left( {2x - 4} \right) \cdot 2\left( {x - 2} \right)^2 - \left( {x^2 - 4x + 5} \right) \cdot 4\left( {x - 2} \right)}}
{{\left( {2\left( {x - 2} \right)^2 } \right)^2 }} = ... \cr}
$

Ik zou zeggen: probeer 't maar eens!

Maar... soms is het 'slimmer' om voor je begint met differentieren eerst eens te kijken of je het functievoorschrift wellicht al vast kan vereenvoudigen.

In dit geval zou je zoiets kunnen doen:

$
\eqalign{
& f(x) = \frac{{x^2 - 5}}
{{2x - 4}} = \frac{{x^2 - 4 - 1}}
{{2(x - 2)}} = \frac{{\left( {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} \right) - 1}}
{{2(x - 2)}} = \frac{1}
{2}\left( {x + 2 - \frac{1}
{{x - 2}}} \right) \cr
& f'(x) = \frac{1}
{2}\left( {1 + \frac{1}
{{\left( {x - 2} \right)^2 }}} \right) \cr
& f''(x) = \frac{1}
{2}\left( {\frac{{ - 2}}
{{\left( {x - 2} \right)^3 }}} \right) = \frac{{ - 1}}
{{\left( {x - 2} \right)^3 }} \cr}
$

Dat is wel handig...

WvR
20-8-2005