WisFaq!

Re: Som van een dubbele fourrierreeks

Er wordt geïntegreerd over een bepaalde periode T. Dat heeft een interessante eigenschap bij periodieke functies. Bijvoorbeeld : de integraal van een cosinus over een volledige periode T is 0. (de grenzen liggen dus tussen 0 en T)
Voor de rest blijft het mij een raadsel ;)

maarten ds
3-8-2005

Antwoord

Wel, zoek nog eens in de cursus, er zal ergens wel staan dat T=2p/w.
Want als je dan het geval h¹k bekijkt, krijg je, met integratiegrenzen 0 en T=2p/w:
1/2 ò(cos{(h+k)(wt+b)}+cos{(h-k)(wt+b)})dt
= 1/2 òcos{(h+k)(wt+b)}d{(h+k)(wt+b)} / (h+k)w
+ 1/2 òcos{(h-k)(wt+b)}d{(h-k)(wt+b)} / (h-k)w
= 1/2 sin{(h+k)(wt+b)} / (h+k)w
+ 1/2 sin{(h-k)(wt+b)} / (h-k)w
= {1/2 sin{(h+k)(w2p/w+b)} - 1/2 sin{(h+k)(w0+b)} / (h+k)w
+ {1/2 sin{(h-k)(w2p/w+b)} - 1/2 sin{(h-k)(w0+b)} / (h-k)w
(hier werden de grenzen ingevuld)
= {1/2 sin{(h+k)b} - 1/2 sin{(h+k)b} / (h+k)w
+ {1/2 sin{(h-k)b} - 1/2 sin{(h-k)b} / (h-k)w
(dit geldt omdat een veelvoud van 2p optellen niks verandert aan de sinus)
= 0 + 0 = 0

En voor h=k krijg je dezelfde afleiding als hierboven, althans voor de linkerterm, maar de tweede term wordt iets anders, immers:
1/2 ò(cos{(h+k)(wt+b)}+cos{(h-k)(wt+b)})dt
= 1/2 ò(cos{(2h)(wt+b)}+cos{(0)(wt+b)})dt
= 0 (net zoals in de vorige afleiding) + 1/2 ò1 dt
= 1/2 (2p/w - 0)
= T/2

En nu zie je hopelijk wel dat voor h¹k elke term uit je dubbelsom nul wordt, en dat voor h=k elke term uit je dubbelsom gelijk wordt aan
2 V_h V_h T/2
= V_h² T

Christophe
3-8-2005