WisFaq!

Bewijs door volledige inductie

Bewijs door volledige inductie dat de n-de afgeleide van xⁿ gelijk is aan n!

·n=1
Dⁿ(xⁿ)=n!
D¹(x¹)=1!
D(x)=1
$\Rightarrow$klopt

·Dⁿ(xⁿ)=n! (ik vervang n door n+1)
(n+1)!=(n+1)n!
inductieveronderstelling is dat Dⁿ(xⁿ)=n!
(n+1)(Dⁿ(xⁿ))

Ik weet dat ik moet komen tot Dⁿ⁺¹(xⁿ)=(n+1)!
maar ik weet niet hoe.

Jeroen
7-7-2005

Antwoord

Voor n=1 klopt het inderdaad. Dat is je startwaarde.

Stel dat het geldt voor n, we bewijzen dat het geldt voor n+1

We hebben dus dat Dⁿ(xⁿ)=n!
Je moet gebruiken dat de (n+1)-de afgeleide gelijk is aan de n-de afgeleide ven de afgeleide. Zo:

Dⁿ⁺¹(xⁿ⁺¹) = Dⁿ(D¹xⁿ⁺¹)
=Dⁿ((n+1)xⁿ)
=(n+1)Dⁿ(xⁿ)
=(n+1)·n!
=(n+1)!

En het is bewezen.

Koen

km
7-7-2005