WisFaq!

Lagrange multiplicatoren

In de les zagen we deze stelling : "stel A open in ⁿ en f: A® continu differentieerbaar. Stel 1pn en g:A®^p continu differentieerbaar.

Neem a ÎA. Onderstel dat g(a)= 0 en dat (dg)(a) surjectief is. Onderstel ook nog dat een d0 bestaat zodat f(x)f(a) voor elke xÎA waarvoor geldt dat g(x)=0 en dat //x - a//d. Dan bestaan er getallen l₁,l₂, ... Î zodat
(D_jf)(a)+ ål_k(D_jg_k)(a)= 0 voor elke j=1,...,n"

Het bewijs van deze stelling versta ik wel, maar ik versta er de zin of bedoeling niet zo goed van. Het is inderdaad handig voor extremumproblemen met nevenvoorwaarden, maar wat betekent het exact?
Hartelijk bedankt!

Nathalie Cambier
2-7-2005

Antwoord

Om toch maar een soort van antwoord te geven... Dit heeft alles te maken met niveaukrommen. Bij punten waarbij f een maximum of een minimum bereikt zijn de gradiënten van de niveaukrommen van f en g precies gelijk- of tegengesteld gericht. In dat geval kan je de partiële afgeleiden van f schrijven als een scalair veelvoud van g.

Op Toelichting bij stelling 9 kan je daar een eenvoudig voorbeeld van vinden. Hopelijk helpt het een beetje...

WvR
11-7-2005