WisFaq!

Oneigenlijke integraal van de tweede soort

Geachte,

Bij de onderstaande oefening is er iets wat ik (nog) niet snap. De bewerking van de integraal is gewoon de de regel toepassen om een integraal op te lossen die niet voldoet aan de 2e voorwaarde (" x Î (a,b) : f(x) Î ).Dit is echter geen probleem.

Het probleem zit hem in de laatste stap. (om dan +¥ te bekomen). Kunt u mij dat verduidelijken? Hieronder volgt de oefening:

0tot1ò 1/x dx = lim p¯0 ptot1 1/x dx
= lim p¯0 ( ln(x) ) ptot1
= lim p¯0 ( ln 1 - ln /p/ )
= 0 - ln (0) = +¥

waarbij ln(0^+) = -¥

Ik hoop dat mijn vraag duidelijk is. Bedankt om mijn vraag te beantwoorden en tijd te maken voor deze site.

Tanguy
17-6-2005

Antwoord

Hallo,

Het is me niet volledig duidelijk wat precies je probleem is, je schrijft het immers erg volledig op.

Uiteindelijk vind je als primitieve functie lnx, met als grenzen 0 ® 1. Omdat de functie oneigenlijk was in 0 kunnen we dit echter niet zomaar als grens "invullen", maar nemen we de limiet. Ln(1) is uiteraard gewoon 0, dus we krijgen:

ln(1) - lim(x®0⁺) ln(x)

Onderaan geef je zelf, correct overigens, aan dat die limiet gelijk is aan -¥ waardoor we dus vinden:

ln(1) - lim(x®0⁺) ln(x) = 0 - (-¥) = 0 + ¥ = +¥

Bij dit soort integralen is het handig dat je de grafieken van functies zoals 1/x, ln(x) en e^x een beetje in je hoofd hebt, dan zijn die limieten snel intuïtief te vinden. Als je hier nog ergens mee zit, geef dan even aan wat er precies niet lukt

mvg,
Tom

td
17-6-2005