WisFaq!

Integraal en oppervlakte

Geachte,
Ik heb dus een vraag over een oefening Integreren.

De opgave: bereken de oppervlakte van het gebied, ingesloten door de grafiek van f(x)=x²-5x-6 en g(x)=x+1.

Ik weet het antwoord (=256/3) en de berekeningswijze : -1tot7ò (x+1) - (x²-5x-6) dx

Maar ik begrijp de redenering niet goed.

Als je de oppervlakte meet met integralen bereken je toch altijd tot de X-as? Ik zou eerst alles boven de x-as berekenen (=oppervlakte tussen X-as en x+1 verminderd met oppervlakte tussen X-as en x²-5x-6 rekeninghoudend met de snijpunten van beide grafieken) en optellen met de oppervlakte tussen X-as en x²-5x-6 (dus onder de x-as, met negatief teken en de snijpunten van X-as en grafiek)

Dus oppervlakte boven de X-as (integraal met positief teken) optellen met oppervlakte onder de X-as (integraal met negatief teken). Dat is mijn (foute???) redenering en kom telkens iets anders uit.

-1tot7ò(x+1) dx - 6tot7ò(x²-5x-6) dx + -1tot6ò(x²-5x-6) dx = gevraagde oppervlakte

Kunt u mij zeggen wat er fout is aan deze redenering?

Ik hoop dat ik duidelijk genoeg ben.

Alvast bedankt

Tanguy
15-6-2005

Antwoord

Hallo,

Als je twee (continue) functies hebt, f(x) en g(x), waarvoor geldt:
- ze snijden elkaar in x = a en in x = b (a b)
- in het interval (a,b) snijden ze elkaar niet meer
- "x: f(x) g(x)

Dan wordt de oppervlakte begrensd door de 2 functies op het interval [a,b] gegeven door: ò(a®b) f(x) - g(x) dx

Waarom nu eigenlijk? Door het verschil van de twee functies te maken creëer je een nieuwe functie met de volgende handige eigenschappen:
- de functie heeft de x-coördinaten van de snijpunten van f en g als nulpunten
- de oppervlakte begrensd door de functie en de x-as is precies gelijk aan de gevraagde begrensde oppervlakte door f en g.

Een plaatje maakt dit misschien duidelijker:
f(x) = x+1 : groen
g(x) = x²-5x-6 : blauw
h(x) = f(x) - g(x) = x+1 - (x²-5x-6) = -x²+6x+7 : rood



Zoals je kunt zien snijdt h(x) de x-as precies op de plaatsen waar f(x) en g(x) elkaar snijden. Bovendien is de begrensde oppervlakte tussen f(x) en g(x) nu gelijk aan de oppervlakte begrensd door h(x) en de x-as: en dit is precies wat je berekent door de integraal van h(x) te nemen tussen die snijpunten.

Misschien dat je met de grafiek nu zelf ook makkelijker ziet waarom jouw redenering niet tot dezelfde oppervlakte komt.

Hopelijk duidelijk zo

mvg,
Tom

td
15-6-2005