WisFaq!

Wortel 2 is irrationeel

Hallo,
Ik heb twee manieren gelezen hoe je de irrationaliteit van wortel 2 kan bewijzen. De 1e manier is mij duidelijk, maar de 2e manier vind ik wat lastiger te begrijpen.

2e manier:
veronderstel:
2=p/q <-> 2=p^2/q^2 -> p^2=2*q^2
Nu heeft de linker gedeelte bij priemontbinding een even aantal 2 maar de rechter kant heeft er een 2 meer.Contradictie.
Dus is 2 irrationeel. Wat ik niet begrijp is hoe men de irrationaliteit van 2 door middel van priemontbinding kan bewijzen? Ik heb mijn best gedaan om het te begrijpen maar het lukt me maar niet.
Hopelijk kunt u mij beter informeren.

dank u wel.
met vriendelijke groeten,
Ahmet

Ahmet
31-7-2002

Antwoord

Hallo Ahmet,

Stel 2 = ^p/_q

Daarbij hebben p en q geen gemeenschappelijke delers, anders hadden een kleinere p en q gekozen kunnen worden.
Dit betekent dus dat hooguit 1 van deze twee getallen even is.

Je had zelf ook al gevonden dat:

p² = 2·q²

Hieruit (omdat rechts even is door de factor 2) kun je concluderen dat p even moet zijn (en dus q oneven). Maar daarmee is het meteen p² een 4-voud.

Daar volgt weer uit dat q² een tweevoud is en daarmee zou q even moeten zijn. Maar q kon alleen maar oneven zijn omdat p al even is. Tegenspraak dus!!!

Zie vraag 264 [http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=264]

gm
1-8-2002