WisFaq!

Parabool : bissectrice van raaklijn en normale

Een stelling zegt dat de rechte Pf (die een punt P(x0,y0) van parabool y²=2px met het brandpunt verbindt) en de rechte y=y0 de raaklijn en de normale aan de parabool als bissectrices hebben. Nu wil ik dat bewijzen door middel van de richtingscoëfficiënten van al die rechten : na een tijdje loop ik echter vast. Ik maak gebruik van de positieve helft van de parabool als functie y=(2px)^1/2. Wat is de reden hiervoor ? Kan iemand het bewijs op die manier leveren ?

Eddy Caluwaerts
11-6-2005

Antwoord

f=(p/2,0)
Een richtingsvector van Pf is dus (x0-p/2,y0)
Van de rechte y=y0 willen we nu een richtingsvector hebben die evenlang is als (x0-p/2,y0).
|(x0-p/2,y0)|=Ö(y0²+(x0-p/2)²)=Ö(2px0+x0²-px0+p²/4)=Ö(x0²+px0+p²/4)=|x0+p/2|.
Voor de rechte y=y0 kiezen we nu als richtingsvector (x0+p/2,0)

De bissectrices van fP en de rechte y=y0 hebben nu als richtingsvectoren:
(x0-p/2,y0)+(x0-p/2,0)=(2x0,y0) en (x0-p/2,y0)-(x0+p/2,0)=(-p,y0).
De richtingscoefficienten van de twee bissectices zijn dan:
y0/(2x0)=y0/(y0²/p)=p/y0 en -y0/p.

De functie y=(2px)^¹/₂ heeft als afgeleide functie: y'=¹/₂(2px)^(-¹/₂)*2p=p/Ö(2px).
In het punt (x0,y0) geldt y'=p/Ö(2px0)=p/y0.
De raaklijn in dit punt heeft dus dezelfde helling als de bissctrice met richtingscoefficient p/y0.
De andere bissectrice had helling -y0/p en is inderdaad normaal van de parabool.

hk
11-6-2005