WisFaq!

Priemgetallen en Pythagoras

Gegeven een oneven priemgetal p , waarom is het zo dat er precies één Pythagorasdriehoek (geheeltallige zijden, rechhoekige driehoek) is met p als lengte van een rechthoekszijde?

Floor van Lamoen
30-5-2005

Antwoord

De verschilrij van de kwadraten bestaat uit alle oneven getallen. Daarvan is p² er een, dus p² is het verschil van twee opeenvolgende kwadraten, en daarmee is p de lengte van een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek.

Stel dat p² = m² - n² voor twee niet opeenvolgende getallen. Dan is p²=(m-n)(m+n). Omdat m-n 1, vinden we twee verschillende niet-triviale factoren van p², en dat is in tegenspraak met het priem zijn van p. Er is dus geen tweede Pythagorasdriehoek met p als lengte van een rechthoekszijde.

FvL
30-5-2005