WisFaq!

4e afgeleide van ln(x+1)

Hallo,

Na veel proberen kom ik tot de derde afgeleide. Maar deze is al zo groot dat ik niet denk dat deze goed is. Uit de vierde afgeleiden kwam ik al helemaal niet meer.
f(x)=ln(1+x)
f'(x)=1/(1+x)
f''(x)=-1/(x²+2x+1)
Volgens mij is de derde afgeleide
f'''(x)=(-2x-2)/(x⁴+4x³+6x²+4x+1)

We hebben geprobeerd dit te controleren via de rekenmachine maar die gaf iets anders aan.

Hopelijk heeft u wel een antwoord op mijn vraag over de vierde afgeleide (of de derde) van ln(x+1)

Alvast bedankt

Rik

Rik Arends
12-5-2005

Antwoord

$
\eqalign{
& f\left( x \right) = \ln \left( {x + 1} \right) \cr
& f'(x) = \frac{1}
{{x + 1}}{\text{ want stel }}u(x) = x + 1{\text{ en }}y(u){\text{ }} = {\text{ }}\ln (u){\text{ dus }}u'(x) = 1{\text{ en }}y'(u) = \frac{1}
{u} = \frac{1}
{{x + 1}} \cr
& f''(x) = \left[ {\left( {x + 1} \right)^{ - 1} } \right]^' {\text{ stel }}u(x) = x + 1{\text{ en }}y(u) = u^{ - 1} \Rightarrow u'(x) = 1{\text{ en }}y'(u) = - u^{ - 2} = \frac{{ - 1}}
{{u^2 }} = - \frac{1}
{{\left( {x + 1} \right)^2 }} \cr
& f'''(x) = \left[ { - \left( {x + 1} \right)^{ - 2} } \right]^' = - \left[ {(x + 1)^{ - 2} } \right]^' {\text{ stel }}u(x) = x + 1{\text{ en }}y(u) = u^{ - 2} {\text{ dus }}u'(x) = 1{\text{ en }}y'(u) = - 2u^{ - 3} = - \frac{2}
{{\left( {x + 1} \right)^3 }} \cr
& {\text{Dus }}f'''(x) = - \left( { - \frac{2}
{{\left( {x + 1} \right)^3 }}} \right) = \frac{2}
{{\left( {x + 1} \right)^3 }}. \cr
& f''''(x) = \left[ {2\left( {x + 1} \right)^{ - 3} } \right]^' = 2\left[ {\left( {x + 1} \right)^{ - 3} } \right]^' {\text{ Stel }}u(x) = x + 1{\text{ en }}y(u) = u^{ - 3} {\text{ dus }}u'(x) = 1{\text{ en }}y'(u) = - 3u^{ - 4} = - \frac{3}
{{u^4 }} = - \frac{3}
{{\left( {x + 1} \right)^4 }} \cr
& {\text{Dus }}f''''(x) = - \frac{6}
{{\left( {x + 1} \right)^4 }}. \cr}
$

Davy
12-5-2005