WisFaq!

Chi- kwadraat

Hallo, ik moet bewijzen dat als Z~N(0,1), dat dan Z²~c²₁. Ik dacht dat dit gewoon een toepassing was van de defintie van de chi-kwadraat verdeling.
Maar hoe moet ik dit nu bewijzen, want volgens mij mag ik niet gewoon de normaal verdeling in het kwadraat nemen, en dit dan verder uitwerken...

groetjes lies

lies
6-5-2005

Antwoord

Lies,
De c²-verdeling met parameters 1 en s heeft de kansdichtheid q(y)=0 ,y0 en
q(y)=1/(sÖ2p)y^-¹/₂exp(-y/(2s²)voor y0.
Als Z de N(0,s)-verdeling bezit,is de dichtheid van Z:
p(x)=1/(sÖ2p)exp(-x²/(2s²).We bepalen nu de dichtheid van Y=Z².Daar Y0,is
P(Yd)=0, d0.Indien d0, is
P(Yd)=òp(x)dx,x van -Ödnaar
Öd=ò{p(-x)+p(x)}dx,x van 0 naar Öd.Door de substitutiex=Öy vinden we dat
P(Yd=ò1/(2Öy){p(-Öy)+p(Öy}dy. y van 0 naar delta.
Dus Y heeft voor y0 de kansdichtheid
q(y)=1/(2Öy){p(-Öy)+p(Öy)}.
Invullen hierin van p(x),de dichtheid van Z,geeft de dichtheid q(y) van de c²-verdeling.
Groetend,

kn
6-5-2005