WisFaq!

Re: P is een oneven priemdeler en n = x² + 1 (geheel)

Hoi Christophe,

Ik begrijp die manier met Legendre/Euler maar eigenlijk zou ik het op een manier (zonderL/E) willen doen maar ik weet niet hoe dat moet.De opgave komt uit de cursus algebra 1 pagina 80, opgave 25.

Groetjes,
Viky

viky
27-4-2005

Antwoord

Dag Viky,

Stel dat pº3 mod 4 (dus p=4k+3) en p is een deler van x²+1.
Dus x²+1º0 mod p, of nog x²º-1 mod p.
Nu is het zo dat ($\mathbf{Z}$/p$\mathbf{Z}$)· een (overigens cyclische) groep is, bestaande uit p-1 = 4k+2 elementen. Stel dat x²º-1 mod p, dus is x een element met orde juist gelijk aan 4 (haja: x⁴º(-1)²º1 mod p. Maar de orde van een element van een groep is altijd een deler van de orde van de groep zelf. Hier zou dat betekenen dat 4 een deler is van 4k+2, wat duidelijk niet het geval is. Strijdigheid.

Groeten,
Christophe.

Christophe
1-5-2005