WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 17 september 2021

Hoofdstelling der rekenkunde voor beginners

Hallo,

Ik heb een vraag over de hoofdstelling der rekenkunde: dat elk natuurlijk getal groter dan 1 maar op 1 manier in priemgetallen te ontbinden is. Kunt u dit misschien met een getallenvoorbeeldje op een simpele manier uitleggen. Ik heb dit gevonden, maar snap het niet echt:U zij mij er erg mee helpen dit makkelijk uit te leggen.

Ik zou graag het bewijs willen begrijpen. Alvast heel erg bedankt! Kunt u misschien een simpel getallenvoorbeeldje erbij geven? Bedankt.

sebastiaan breukel
26-4-2005

Antwoord

Dit is eenvoudig te achterhalen met de volgende oefening: Neem een geheel getal 2 en ontbindt dat in zo klein mogelijk factoren. Het delen door 1 oogt niet zinvol want dan behoudt je steeds het originele getal. Daarom is 2 de eerste factor die je meeneemt.

Voorbeeld: getal 504.

1e factor: 2
504/2 = 252; 252/2 = 126; 126/2 = 63; 63/2 = 31.5.
Pas bij de vierde deling door 2 is het antwoord geen geheel getal meer. Conclusie: 504 = 2^3 * X, met X is een geheel getal (63).

tweede factor: 3
63/3 = 21; 21/3 = 7; 7/3 = 2.33333...
Bij deling drie gaat het mis.
conclusie: 504 = 2^3 * 3^2 * X, met X is een geheel getal (7).

derde factor: 4
7/4 = 1.75
Dit gaat meteen mis: 504 = 2^3 * 3^2 * 4^0 * X, met X is een geheel getal.

vierde factor: 5
7/5 = 1.2
Dit gaat meteen mis: 504 = 2^3 * 3^2 * 4^0 * 5^0 * X, met X is een geheel getal.

vijfde factor: 6
7/6 = 1.1666666666...
Dit gaat meteen mis: 504 = 2^3 * 3^2 * 4^0 * 5^0 * 6^0 * X, met X is een geheel getal.

zesde factor: 7
7/7 = 1; 1/7 = 0.142...
Dit gaat een keer goed en daarna is het delen klaar, want er blijft 1 over:
504 = 2^3 * 3^2 * 4^0 * 5^0 * 6^0 * 7^1.

Op deze manier kun je alle getallen ontbinden in factoren.
Wanneer je een ander getal op deze manier in factoren ontbindt kan het gebeuren dat de macht van 5 niet nul is, bijvoorbeeld bij 360. Voor de getallen 4 en 6 zal de macht echter wel ALTIJD nul zijn. ALLEEN voor priemgetallen kan de macht iets anders zijn dan nul!


Thijs
2-5-2005


© 2001-2021 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#37296 - Bewijzen - Leerling bovenbouw havo-vwo