WisFaq!

Nulpunten

hallo!!!!!!

Ik heb de vragen over nulpunten bekeken op deze site, maar ik snap er nix van al shet wordt toegepast bij de derdegraadsvergelijking:

Bij 1 vraag stond:
Hoe kun je aan de formule zien hoeveel oplossingen de vergelijking heeft?
Dat kan je als volgt zien: zoek eens de extrema van deze functie f. Dat doe je dus door de nulpunten van de eerste afgeleide van f te berekenen. Het kan zijn dat je hier twee, een, of nul nulpunten uitkomt.

- Nul nulpunten: dan is de functie overal stijgend, of overal dalend, en heb je dus juist een snijpunt met de x-as.

- Een (dubbel) nulpunt (noem het a): dan zal nog steeds de functie overal stijgen, of overal dalen. Ga maar na: mocht dit nulpunt een extremum zijn, dan zou je functie bv eerst dalen en dan stijgen, wat je een parabolische vorm geeft, dat kan niet voor een derdegraadsfunctie. Dus je hebt nog steeds juist een snijpunt met de x-as.

- Twee nulpunten, noem ze a en b. Plot eens 2x3-3x2-12x en 2x3-3x2-12x+30 en 2x3-3x2-12x-30. Zie je dat je juist een snijpunt krijgt als f(a) en f(b) hetzelfde teken hebben? Wanneer krijg je drie snijpunten met de x-as? En wanneer 2?

Sry, maar ik snap er nix van zouden jullie me plzzzzzzzzzz kunnen helpen, ik moet deze week nog mijn PO wiskunde inleveren.

En ik had nog een klein vraagje: was de wiskundige notatie in de tijd van Cardano (renessaince) hetzelfde als nu?

Alvast bedankt:
leerling in problemen

leerling in problemen
24-4-2005

Antwoord

Beste leerling in problemen,
Je wilt dus graag weten:
Hoe kun je aan de formule zien hoeveel oplossingen de vergelijking heeft?

Op http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html staat:
determining which roots are real and which are complex can be accomplished by noting that if the polynomial discriminant D 0, one root is real and two are complex conjugates; if D = 0, all roots are real and at least two are equal; and if D 0, all roots are real and unequal.

Dit komt dus eigenlijk op het volgende neer:
Iedere 3e graads vergelijking heeft in principe 3 oplossingen, echter:
1) sommige kunnen hetzelfde zijn
2) sommige kunnen complex zijn
Als dus:
D0 heb je 1 reele oplossing en 2 complexe
D=0 heb je 3 reele oplossingen, waarvan minimaal 2 hetzelfde
D0 heb je 3 reele oplossingen en alle drie verschillend.

Let erop dat nu D niet hetzelfde is als de discriminant van 2e graads vergelijkingen, maar die van 3e graads. Iedere 3e graads vergelijking is te herschrijven naar x³+px-q=0. De Discriminant kan dan kort genoteerd worden als:
D=Q³+R²
Q=p/3
R=q/2

Hopelijk zo nu duidelijk.

M.v.g.
PHS

PHS
26-4-2005