WisFaq!

Actangensmethode om pi te berekenen

waarom geldt: ò1/(1+x²)dx=arctanx?

Jasper van Abswoude
17-4-2005

Antwoord

arctan(tan(x))=x, dus
d/dx arctan(tan(x)) = dx/dx = 1

tevens geldt wegens de kettingregel dat
d/dx arctan(tan(x)) = d{arctan(tan(x))}/dtanx . dtanx/dx

hieruit volgt:
d{arctan(tan(x))}/dtanx . dtanx/dx = 1 Û
d{arctan(tan(x))}/dtanx . (1/cos²x) = 1 Û
d{arctan(tan(x))}/dtanx . (sin²x+cos²x/cos²x) = 1 Û

Wanneer je in de factor (sin²x+cos²x/cos²x) nu teller en noemer deelt door cos²x, staat er:

d{arctan(tan(x))}/dtanx . (tan²x+1) = 1 Û
d{arctan(tan(x))}/dtanx = 1/(1+tan²x) Û

als je goed kijkt, staat hier in feite:
d{arctanx)/dx = 1/(1+x²), wanneer je de tanx door x vervangt.

hetgeen verklaart dat de primitieve van 1/(1+x²) gelijk is aan arctan(x)+C

groeten,

martijn

mg
17-4-2005