WisFaq!

De wortel van elk priemgetal is irrationaal

Hoe laat men zien dat de wortel van elk priemgetal p irrationaal is?

Mark
14-6-2002

Antwoord

Beste Mark,

Laat n een positief geheel getal zijn en stel dat √n rationaal is. Dan kunnen we schrijven met positieve gehele getallen a en b

√n = a/b.

Hier is ggd(a,b)=1, zodat we de breuk a/b niet verder kunnen vereenvoudigen. Kwadrateren geeft

n = a²/b².

Natuurlijk is deze breuk ook weer niet verder te vereenvoudigen. Maar omdat n een geheel getal is betekent dat dat b²=1 en dus ook b=1. Maar dan was ook √n een geheel getal.

We hebben nu bewezen:

√n is alleen een rationaal getal als het ook een geheel getal is, en dus als n een kwadraat is.

Dat is meer dan waar jij om vroeg.

FvL
14-6-2002