WisFaq!

Derdegraadsvergelijkingen en snijpunten met de x-as

Ik maak een werkstuk over de formule van Cardano. Daarin verwerken we ook derdegraadsvergelijkingen in het algemeen. Nu is mijn vraag: hoe kun je van tevoren aan een formule van een derdegraadsvergelijking zien of deze één, twee of drie snijpunten met de x-as heeft?

Janneke
1-4-2005

Antwoord

Hallo Janneke,

Dat kan je als volgt zien: zoek eens de extrema van deze functie f. Dat doe je dus door de nulpunten van de eerste afgeleide van f te berekenen. Het kan zijn dat je hier twee, een, of nul nulpunten uitkomt.

- Nul nulpunten: dan is de functie overal stijgend, of overal dalend, en heb je dus juist een snijpunt met de x-as.

- Een (dubbel) nulpunt (noem het a): dan zal nog steeds de functie overal stijgen, of overal dalen. Ga maar na: mocht dit nulpunt een extremum zijn, dan zou je functie bv eerst dalen en dan stijgen, wat je een parabolische vorm geeft, dat kan niet voor een derdegraadsfunctie. Dus je hebt nog steeds juist een snijpunt met de x-as.

- Twee nulpunten, noem ze a en b. Plot eens 2x³-3x²-12x en 2x³-3x²-12x+30 en 2x³-3x²-12x-30. Zie je dat je juist een snijpunt krijgt als f(a) en f(b) hetzelfde teken hebben? Wanneer krijg je drie snijpunten met de x-as? En wanneer 2?

Groeten,
Christophe.

Christophe
1-4-2005