Die oefening 24 zegt dat zowel de uitbreiding K Ì L als LÌ M allebei normaal zijn. Goed, je kiest dan twee kwadratische uitbreidingen, die zijn zeker normaal. Alleen denk ik dat je het verkeerd genoteerd hebt: bedoel je niet 2^(1/4) ipv (sqrt2)^(1/4)?
Wat is de graad [M:L]? Je zegt zelf dat het een kwadratische uitbreiding is, dus is de graad toch twee? En hoe je dit aantoont: tja, M =
(2^(1/4)) = (2^(1/4),Ö2) = ((Ö2))(2^(1/4)) = L(2^(1/4)) = L(ÖÖ2). Dus M ontstaat uit L door aan L de wortel van een element van L toe te voegen, dit is dus overduidelijk een kwadratische uitbreiding.Je wil nu aantonen dat de uitbreiding K Ì M niet normaal is, met andere woorden (def 23.12) dat er een element a in M bestaat wiens minimaalpolynoom over K NIET te ontbinden is in lineaire factoren over M. Lees voorgaande zin nog maar eens
.Je kijkt naar het element a=21/4.
De minimaalpolynoom van a over K is duidelijk X4-2=0. Deze is over
UNIEK te ontbinden, namelijk door ongeveer de ontbinding die jij geeft:(X-a)(X+a)(X-ai)(X+ai)
Dit is echter geen ontbindig over M, want het getal i zit helemaal niet in M. Een andere ontbinding (één die wel in M zit bijvoorbeeld) kan er niet bestaan, want dan zouden er twee verschillende ontbindingen over
bestaan, in strijd met de hoofdstelling van de algebra.Conclusie: de minimaalpolynoom van a is niet te ontbinden in lineaire factoren over M, dus de uitbreiding K Ì M is niet normaal.
NB de verste ontbinding van die minimaalpolynoom is:
(X-a)(X+a)(X2-Ö2)
Groeten,
Christophe.
Christophe
29-3-2005