WisFaq!

Waarde(n) van a voor raaklijn y = ax aan 3e-graads functie

Goedendag, kunt u mij hiermee helpen?

Gegeven zijn de functies: f(x)=x³-3x² en g(a)(x)=ax.
de vraag is : Voor welke waarde(n) van a is de grafiek van g(a)raaklijn aan de grafiek van f. Zelf dacht ik alle waarden, omdat beiden altijd door de oorsprong gaan. Maar ik weet het niet zeker.

jan-willem kroon
23-3-2005

Antwoord

De grafiek van de functie
f(x) = x³ - 3x² = x²(x - 3)
raakt in het punt (0,0) aan de x-as. Maak een tekening (of een plot met je GR).
De x-as is dus in ieder geval een raaklijn aan de grafiek van de functie.
En die lijn is 'lid' van de familie grafieken die behoort bij g_a(x) = ax.
Welke a hoort hierbij?

Maar nee, niet elke lijn 'g_a' is raaklijn!
Een willekeurige lijn door O snijdt de grafiek van f in het algemeen in drie verschillende punten!
Om raaklijn te zijn moeten twee van die snijpunten samenvallen.
Een van de gevallen levert de x-as als raaklijn. Maar er is een tweede stand van zo'n lijn waarvoor twee snijpunten samenvallen (kijk naar het gemaakte plaatje, als de lijn om O draait!).

Ga eens uit van een willekeurige raaklijn in het punt (p, ...) aan de grafiek van f.
De rico van die raakijn is dan
f '(p) = 3p² - 6p
Een vergelijking van de raaklijn in dat punt is dan (ga zelf na waarom!):
y = (3p² - 6p)x -2p³ + 3p²
En die lijn moet door het punt (0,0) gaan.
Je moet dan uitkomen op p = 1¹/₂.
En dat geeft dan a = -2¹/₄.

Zo, de antwoorden staan er. Nu resten jou de tussenliggende stappen!

dk
23-3-2005