WisFaq!

Cauchyrij en convergentie

in mijn cursus staat: 'het is eenvoudig aan te tonen dat elke convergente rij een cauchyrij is. Het omgekeerde is natuurlijk niet waar, we hebben niet dat elke cauchyrij zal convergeren. Dit was immers reeds het geval voor met de gewone metriek.'
ik snap echter niet waarom het omgekeerde niet waar is en uit het voorbeeld raak ik ook niet wijs uit.

Johan
3-3-2005

Antwoord

Bekijk het interval (0,1] als metrische ruimte op zichzelf. De rij (1/n) is een Cauchy-rij in die metrische ruimte: als mn dan geldt |1/n-1/m|1/n; dus gegeven epsilon0 neem eerst N zo dat 1/Nepsilon, dan geldt voor mnN dat |1/n-1/m|1/Nepsilon.
De rij convergeert echter niet in de gegeven metrische ruimte: als x in (0,1] kies dan N met 1/Nx/2, voor nN geldt dat |1/n-x|x/2; de rij convergeert dus niet naar x.

kphart
3-3-2005