WisFaq!

Primitieve

Goedendag,

ik kom niet uit een hele lastige vraag.
zou u me kunnen helpen?

de primitieve van (cos²x+1)²

alvast bedankt

leon
2-3-2005

Antwoord

Bij deze primitieve kun je goed gebruik maken van de gonioformule: cos(2t)=2cos²(t)-1.
Waarom?
We gaan deze formule anders schrijven:
Uit cos(2t)=2cos²(t)-1 volgt: 2cos²(t)=cos(2t)+1, dus cos²(t)=¹/₂cos(2t)+¹/₂.

Nu gaan we (cos²x+1)² met behulp van deze nieuwe formule herschrijven.
We krijgen:
(cos²x+1)²=(¹/₂cos(2x)+¹/₂+1)²=(¹/₂cos(2x)+1¹/₂)².
Uitwerken van het kwadraat levert: ¹/₄cos²(2x)+1¹/₂cos(2x)+⁹/₄.

Nu passen we onze nieuwe formule (cos²(t)=¹/₂cos(2t)+¹/₂) opnieuw toe met t=2x, we krijgen dan:
¹/₄(¹/₂cos(4x)+¹/₂)+1¹/₂cos(2x)+⁹/₄=
¹/₈cos(4x)+¹/₈+ 1¹/₂cos(2x)+⁹/₄=
¹/₈cos(4x)+1¹/₂cos(2x)+¹⁹/₈.

Nu nog even primitiveren ( en denk aan de kettingregel) en we krijgen:
¹/₃₂sin(4x)+³/₄sin(2x)+¹⁹/₈x.
Pff...

hk
2-3-2005