WisFaq!

Bovengrens

Hoi,

Ik heb de dv dydx = x^2 + y^2 y(0)=1 .
Deze is niet "zomaar" op te lossen.
Op het interval xÎ[c1 , 10] geldt dat x^2+y^2y^2+c2.
Nu moet ik dit gegeven vinden om een bovengrens te bepalen. Hier loop ik in vast. Heeft iemand een hint voor mij. Ik kan Picard iteratie's gebruiken....

met vriendelijke groet,

Roedi
27-2-2005

Antwoord

De ongelijkheid is de sleutel tot het probleem. Wat je doet is de oplossingen van twee differentiaalvergelijkingen met elkaar vergelijken: neem een oplossing f van de gegeven differentiaalvergelijking en een oplossing g van dy/dx=y^2. Stel dat de grafieken van f en g elkaar in een punt (a,b) snijden; in dat punt geldt f'(a)=a^2+b^2 en g'(a)=b^2, dus f'(a)g'(a) (en zelf f'(a)g'(a) als a niet 0 is). Dat betekent dat f sneller stijgt dan g en dat f van onder naar boven door de grafiek van g gaat (teken een plaatje); na a blijft f boven de grafiek van g.
Los nu het beginwaardeprobleem dy/dx=y^2 met y(0)=1 op: de oplossing is g(x)=1/(1-x); de oplossing, f, van het oorspronkelijke probleem blijft boven de grafiek van g. Omdat g bij x=1 een verticale asymptoot heeft zal f ook een verticale asymptoot hebben en die ligt bij x=1 of links daarvan; de oplossing bestaat dus op een interval [0,a) met a1.

kphart
3-3-2005