WisFaq!

Derdegraads vergelijkingen oplossen zonder cmplexe getallen

Hoi,
hoe kun je derde graads vergelijkingen oplossen zonder gebruik te maken van complexe getallen. en toch drie uitkomsten krijgen?

sven
22-2-2005

Antwoord

Beste Sven,

Dit zal (helaas?) niet altijd gaan.

Neem bijvoorbeeld de vergelijking:
x³-2x²-x+2 = 0
Je kan de vergelijking ontbinden in factoren:
(x-1)·(x²-x-2) = 0 = (x-1)·(x+1)·(x-2) = 0
Er zijn dus 3 reële oplossingen:
x = 1 Ú x = -1 Ú x = 2

Neem nu een 2e vergelijking:
x³-x²+x-1 = 0
Ook deze kan je ontbinden in factoren:
(x-1)·(x²+1) = 0 = x-1 = 0 Ú x²+1 = 0
Dat eerste gedeelte heeft een reële oplossing, namelijk x = 1. Het tweede deel heeft echter enkel complexe oplossingen, namelijk i en -i.

Het hangt dus volledig van de vergelijking af hoeveel reële oplossingen er zijn.

mvg,
Tom

td
22-2-2005