WisFaq!

Som van reeksen bepalen

Hallo wisfaq,

Er wordt gevraagd de sommen van de volgende reeksen te bepalen:

1) (1/2)+(2/4)+(3/8)+(4/16)+.......

ik zie de regelmaat wel maar het lukt me niet om de som te berekenen. (mag je zo'n reeks ook anders opschrijven als dat kan?)

2) ((sin1)/2)+((sin2)/4)+((sin3)/8)+((sin4)/16)+.....

Zou iemand mij kunnen helpen?

Liefs
Amy

amy
18-2-2005

Antwoord

De eerste is de som $\sum$ n·xⁿ voor x=1/2 (n van 0 tot $\infty$). Die berekent men als volgt:
$\sum$ xⁿ = 1/(1-x) (meetkundige reeks, voor -1$<$x$<$1); differentiëren geeft
$\sum$ n·x^n-1 = 1/(1-x)²;
nu nog links en rechts van '=' met x vermenigvuldigen, en dan x=¹/₂ invullen; uitkomst: 2.

De tweede is het imaginaire deel van $\sum$ xⁿ voor x=(eⁱ)/2 (n van 1 tot $\infty$).
Dus het imaginaire deel van x/(1-x) voor x=(eⁱ)/2.
Dat mag je zelf afmaken.

hr
19-2-2005