WisFaq!

Differentiaalvergelijkingen (variatie der constanten)

Hallo, ik ben al een hele week bezig met het oplossen van naar mijn mening nogal complexe differentiaalvergelijkingen! Zou u me misschien kunnen helpen?
Ik heb problemen met de volgende dv's ik moet gebruik maken van een substitutie en van variatie van constante, maar ik weet niet wanneer ik terug moet substitueren en welek oplossing ik dan krijg.
sin[y] y'= 2x(1-cos[y] met y(1)=Pi/2

y'=2y(xy^0.5-1) met y(0)=1

Steven
18-2-2005

Antwoord

De eerste kan men oplossen met substitutie u=cos(y);
er komt du/(1-u) = -2x dx; integreren geeft ln(abs(1-u)) = x² + c₁, dus (1-u) = c₂exp(x²), dus
cos(y) = 1 - c₂exp(x²).
Met de beginvoorwaarde volgt cos(p/2) = 1 - c₂exp(1), dus c₂=exp(-1).

Voor de tweede: y'=-2y heeft oplossingen y=c*exp(-2x);
varieer de constanten: y=c(x)*exp(-2x) en substitueer dat in de dv; er komt:
c'(x)exp(-2x) - 2c(x)exp(-2x) = 2x*c(x)^3/2exp(-3x) - 2c(x)exp(-2x), ofwel
c' exp(-2x) = 2x c^3/2 exp(-3x), ofwel
dc/c^3/2 = 2x exp(-x) dx;
los zelf verder op door (partieel) integreren en terugsubstitueren.

hr
19-2-2005