WisFaq!

Hoogtelijnen in een gelijkbenige driehoek

Ik kwam niet uit de volgende vraag:

Van een gelijkbenige driehoek zijn AC en BC twee gelijke benen.Je laat vanuit A een loodlijn neer op de zijde BC die BC snijdt in P. Je laat vanuit B een loodlijn neer op de zijde AC die AC snijdt in Q.
a) bewijs dat AP=BQ
b) bewijs dat het snijpunt S van AP en BQ op de loodlijn vanuit C op AB ligt.

maarten
13-2-2005

Antwoord

Wat vragen in dit verband, die je vast wel kan beantwoorden.

(a) Kan je bewijzen dat de driehoeken APB en AQB congruent zijn?
(Aanwijzing: welke zijde hebben beide driehoeken gelijk; er zijn twee hoeken die in beide driehoeken gelijk zijn. Welke zijn dat?)

(b) Waarom is AQ = BP, en waarom dus ook CQ = CP?
Waarom zijn de driehoeken SPC en SQC congruent?
Wat weet je nu van de hoeken bij C in die driehoeken?
En wat dus van de lijn CS in driehoek ABC?

(Bekende eigenschap?) De bissectrice uit de tophoek van een gelijkbenige driehoek is tevens ... (vul zelf aan).

En dus ...

N.B.
Waarmee bewezen is dat de hoogtelijnen in een gelijkbenige driehoek door één punt gaan (het hoogtepunt van de driehoek).
Overigens is dat in elke driehoek het geval, maar dat is wat moeilijker te bewijzen.

dk
13-2-2005