WisFaq!

Stelling van Thales over evenwijdige lijnen

Voor het vak wiskunde moet ik een aantal basiseigenschappen vanaf het tweede jaar S.O. kunnen bewijzen. Eén ervan luidt als volgt:

Als drie evenwijdige rechten gesneden worden door twee andere rechten, dan is de verhouding van de lijnstukken afgesneden door de ene snijlijn gelijk aan de verhouding van de lijnstukken afgesneden door de andere snijlijn.

Ik heb nu al overal gezocht op internet en ik kwam tot het besluit dat dit de stelling van Thales is, is dit zo? (Want als ik dan naar de stelling van Thales zoek op internet vind ik altijd dat de stelling van Thales luidt als volgt: het midden van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.) Kan u mij helpen met dit bewijs?
Ook moet ik het omgekeerde van deze eigenschap bewijzen:

Als drie rechten gesneden worden door twee andere rechten en als de verhouding van de lijnstukken op de ene snijlijn gelijk is aan de verhouding van de lijnstukken op de andere snijlijn, dan zijn de drie rechten evenwijdig.

Kan u me hierbij ook helpen?
Hartelijk dank!

elke
8-2-2005

Antwoord

Dag Elke,

Inderdaad ook deze stelling wordt wel aan Thales toegeschreven.
Maar nergens in de geschiedschrijving over de wiskunde (althans in betrouwbare klassieke bronnen) is er een vindplaats waar dit wordt bevestigd.
Het zijn er in ieder geval 5 of 6, maar de door jou genoemde stelling staat daar niet bij.
Ook in de Elementen van Euclides komt de stelling (voor zover ik mij herinner) in deze vorm niet voor.

Gegeven (Stelling van Thales?):
De evenwijdige lijnen l₁, l₂, l₃ die van de lijn m de lijnstukken a₁, a₂ en van de lijn n de lijnstukken b₁, b₂ afsnijden.

[figuur 1]

Te bewijzen (zie figuur 1):
a₁ / a₂ = b₁ / b₂

Bewijs:
Stel a₁ / a₂ = p / q met p en q gehele getallen (in de tekening is p = 3 en q = 2).
We denken a₁ dan verdeeld in p gelijke delen en a₂ in q gelijke delen.
Door de deelpunten (op m) trekken we lijnen evenwijdig aan l₁.
Nu is A₁A₃ in p + q gelijke delen verdeeld.
Is dat dan ook het geval voor B₁B₃?
Het antwoord is JA, maar dat moeten we echt OOK bewijzen (bewijs volgt...)
Dan liggen p van die gelijke delen op B₁B₂ en q van die gelijke delen op B₂B₃.
Zodat:
b₁ / b₂ = p / q
en dus a₁ / a₂ = b₁ / b₂.

Nu eerst maar de eigenschap die we hierboven (hoeveel keer?) gebruikten.

Hulpstelling.

Als enige evenwijdige lijnen van een lijn gelijke stukken afsnijden, dan snijden zij van elke andere lijn gelijke stukken af.

Gegeven:
De evenwijdige lijnen l₁, l₂, l₃ snijden van de lijn m de gelijke stukken A₁A₂, A₂A₃ af en van de lijn n de stukken B₁B₂, B₂B₃.
[figuur 2]
Te bewijzen (zie figuur 2):
B₁B₂ = B₂B₃
Bewijs:
Trek B₁P₁, B₂P₂ beide // m.
Dan ontstaan de parallellogrammmen A₁A₂P₁B₁ en A₂A₃P₂B₂.
Direct duidelijk is dan dat A₁A₂ = B₁P₁ = A₂A₃ = B₂P₂
en dan zijn de driehoeken B₁P₁B₂ en B₂P₂B₃ congruent (waarom is dat zo?).
Waaruit volgt dat B₁B₂ = B₂B₃.

Tja, de eerste stelling (die van Thales dus), hebben we hierboven alleen bewezen voor gehele getallen.
Als p en q rationale getallen zijn, dan is de verhouding p / q terug te brengen tot een verhouding van gehele getallen.
Bijvoorbeeld:
(3¹/₃) / (2¹/₂) = 4 : 3
Zijn p en q reële getallen, dan wordt het bewijs echter een stuk ingewikkelder.
Veelal wordt dan opgemerkt, dat met behulp van rijen rationale getallen (die die reële getallen benaderen) het bewijs ook geleverd kan worden.
En dat doe ik nu dus ook maar.

En dan de omgekeerde stelling. We formuleren deze liever als:

Als drie lijnen, waarvan er twee evenwijdig zijn van twee snijlijnen evenredige stukken afsnijden, dan is ook de derde lijn evenwijdig met de eerste twee.

Dus...

Gegeven:
l₁ // l₂
l₁, l₂, l₃ snijden van m en n stukken a₁, a₂ en b₁, b₂ af met a₁ / a₂ = b₁ / b₂.
Te bewijzen:
l₁, l₂, l₃ zijn evenwijdig
Bewijs (maak zelf een tekening):
Uit het ongerijmde...
Stel l₃ is niet evenwijdig met l₁ en l₂.
We trekken nu door A₃ de lijn x evenwijdig met l₂ (dat kan; waarom?).
x snijdt de lijn n in het punt Y.
De punten B₃ en Y vallen dan niet samen (waarom?).
Stellen we nu B₂Y = c, dan geldt:
- a₁ / a₂ = b₁ / b₂ (volgens het gegeven)
- a₁ / a₂ = b₁ / c (volgens de stelling van Thales, hierboven)
zodat
b₁ / b₂ = b₁ / c
waaruit volgt dat b₂ = c
Met andere woorden B₃ valt (toch) samen met Y. En dit leidt tot een tegenspraak, waaruit dan weer volgt dat l₃ // l₂ // l₁.

Je schrijft dat je overal op internet gezocht hebt. Dat je niets gevonden hebt, kan wel kloppen.
Immers, niet alles staat op internet. Daar onvindbare, maar wel bestaande zaken staan, bijna zeker, in boeken (en die staan op hun beurt wel weer in bibliotheken).

Maar nu staat het in ieder geval ook op internet!

dk
9-2-2005