WisFaq!

Verschil van toevalsveranderlijken

Wat is de dichtheidsfunctie van het verschil van 2 toevalsveranderlijken? Of hoe kun je die vinden? (vb: |X - Y| met X en Y uniform verdeeld over [0,1])

Johannes De Smedt
3-2-2005

Antwoord

Johannes,
Als Y uniform is op [0,1]dan is -Y uniform op [-1,0] en omdat X uniform is op [0,1]en X en Y onafhankelijk is X-Y uniform op de rechthoek met hoekpunten (0,0),(1,0),(0,-1) en (1,-1).Neem Z=-Y en teken de rechthoek en de lijn
x+z=z.Nu is
P(X+Zz)=0 voor z-1,
=(z+1)²/2 voor -1z0,
=1-(1-z)²/2 voor 0z1,
=1 voor z1.
Hieruit volgt door differentieren naar z dat X-Y een dichtheid h(v) bezit met
h(v)=0 voor v-1 ev v1,
= v+1 voor -1v0,
=1-v voor 0v1.
De dichtheid h(v) heeft de vorm van een gelijkbenige driehoek.De dichtheid van /X-Y/ in eenvoudig te vinden.
Deze is p(x)=2(1-x) voor 0x1 en nul elders.
Groetend,

kn
4-2-2005