WisFaq!

Bloembollen planten

"Twintig bloembollen, waaronder 10 van gele tulpen, 5 van witte tulpen en 5 van rode
tulpen, worden volledig willekeurig op één lijn aangeplant.
a) ...
b) Wat is de kans dat minstens zeven opéénvolgende tulpen geel zijn ?"

Weg gevolgd door de assistenten:
10 opeenvolgende tulpen: 10!/(5!)**2=2772

9 opeenvolgende tulpen:
C(10,1)*10!/(5!)**2 (plaaats geen gele tulp ná het blok gele tulpen - hier staat het blok "vooraan")
+10*C(9,1)*10!/(5!)**2 (plaats geen gele tulpen voor of na den blok - hier staat het blok "er middenin"
+C(10,1)*10!/(5!)**2
#[9 opeenvolgende] = 27720

8 opeenvolgende:
C(11,2)*q+11*C(10,2)*q+C(11,2)*q
#[8 opeenvolgende] = 152460

7 opeenvolgende: 609840

De kans wordt dan: å#/(46558512) = 1.7%

(MO:
C(a,b): combinatie van b uit a
q=10!/(5!)**2)

ik wil wel tulpen planten, maar zoveel werk gaat me te ver, bestaat er geen shortcut?

Ik heb het geprobeerd met één SUPERBLOK tulpen, en dan daarmee verderwerken, dan kom ik echter op 2,2% (14!/(5!*5!*3!*1!)

(Hoe) Kan het korter?

MADe
30-1-2005

Antwoord

Beste MADe,
De 1,7 % is correct.Tenminste ik kom op mijn eigen manier tot die zelfde uitkomst. Ik snapte het verhaal van de assistent eerst ook niet.
Het kan iets eenvoudiger, maar helaas niet veel.
Je hebt 10 gele tulpen en 10 niet-gele,( het maakt helemaal geen flikkr uit wat voor kleuren die hebben; paars, oranje, bruin, groen ... )
Nu gaan we de kans bepalen op precies 7 gele achter elkaar:
Er zijn C(20,10)= 184 756 mogelijkheden voor de plaatsen van de gele tulpen in de rij van 20 tulpen.
Bij hoeveel van die mogelijkheden is er een aaneengesloten rijtje van precies 7 (en niet meer dan 7) gele tulpen ?
Het rijtje van 7 kan beginnen op plaats 1, 2, ...14.
Begint het op plaats 1 (of plaats 14) dan zijn er C(12,3)=220 mogelijkheden om de andere 3 gele tulpen te plaatsen, niet C(13,3), want plaats 8 (of 13)is taboe.
Dit zijn dus 2 maal C(12,3) = 440 mogelijkheden.
Als het rijtje van 7 begint op plaats 2, 3, ...13, dan zijn er C(11,3) mogelijkheden om de 3 andere gele tulpen te plaatsen op de 13 overgebleven paatsen, niet C(13,3), want de plaatsen net voor en net achter het rijtje zijn verboden.
Het aantal mogelijkheden voor een rijtje van precies 7 gele is dus : 2*C(12,3) + 12*C(11,3)= 2420 en de kans op precies 7 gele op een rij wordt dus 2420/C(20,10)
Op precies de zelfde manier kun je de kansen op 8, 9, en 10 achter elkaar vinden.
Helaas is er, ben ik bang, geen kortere weg.
groet uit tulpenland

JCS
1-2-2005