Het begrijp nog niet zo goed wat ze precies met rang bedoelen. Ik zal het begrip rang proberen te verduidelijken, eerst de formele definitie en dan wat uitleg.
De rang van een matrix wordt gedefinieerd als de dimensie van het beeld van de lineaire afbeelding die aan deze matrix geassocieerd is.
Zonder die afbeelding erbij te betrekken kan je zeggen dat de rang van een matrix gelijk is aan het aantal lineair onafhankelijke kolommen (of rijen).
Stel A is een mxn matrix, hoe moet je dan rang A berekenen? Je kan de matrix vegen via Gauss-Eliminatie, het aantal van nul verschillende rijen is dan de rang.
Je kan ook de grootst mogelijke minor (= "deeldeterminant") zoeken die verschillend is van 0. De dimensie van deze minor is dan de rang.
Voor vierkante matrices is dit gewoon de determinant, als die verschillend is van 0 dan is je rang maximaal (dus n in het geval van een nxn matrix). Is deze wel gelijk aan 0, dan is de rang nog ten hoogste n-1, dan kan je weer van 0 verschillende minoren zoeken.
En als je een nxn matrix hebt hoe kun je dat het beste bewijzen dat A inverteerbaar is d.e.s.d.a rangA=n Enkele equivalente eigenschappen van een nxn matrix A:
(
=
relatie, geldt dus in alle richtingen)- A is regulier
- Rang(A) = n
- Alle rijen van A zijn lineair onafhankelijk
- Alle kolommen van A zijn lineair onafhankelijk
- Det(A) ¹ 0
- ...
In de praktijk zal die laatste gewoonlijk het handigst zijn, als de determinant verschillend is van 0 dan is je matrix regulier en dus inverteerbaar.
mvg,
TD
td
27-1-2005