WisFaq!

Differentiëren

Ik heb een vraagje over het differentiëren van functies met gebroken exponenten. Hoe vind je bijvoorbeeld bij de functie:
4Öx de hellingsfuctie en hoe kan je dan weer in de hellingsfunctie weer een wortel teken krijgen (en dus niet x^(-1/4) bijvoorbeeld. Ik hoop dat mijn vraag een beetje duidelijk is.. Vrij lastig duidelijk te maken wat nou precies mijn probleem is namelijk. Maar hoop dat iemand me dit duidelijk kan uitleggen, groetjes Iris

iris
27-1-2005

Antwoord

Beste Iris,

Laten we gemakkelijk beginnen f(x)=Ö(x).
In het algemeen geldt dat ⁿÖ(x^m) gelijk is aan x^m/n. Dus de n-de machtswortel van x^m is hetzelfde als x^m/n.
Als n = 2 dan is er sprake van een vierkantswortel (je schrijft Ö(x) i.p.v. ²Ö(x)) en dit is gelijk aan x^1/2, een kwestie van bovenstaande regel toepassen.
De regel geldt ook andersom x^m/n = ⁿÖ(x^m) mits x, m en n zinvol gekozen (de n-de machtswortel moet wel bestaan).

Als we f(x) = Ö(x) afleiden dan doe je eigenlijk f'(x) = (x^1/₂)' = ¹/₂x^1/₂-1 = ¹/₂x^-1/₂.
We hebben een negatieve exponent, dus gaan we de regel x^-k waarbij k Î ⁺ (de positieve rationale getallen) dat is gelijk aan ¹/_x^k. Dus ¹/₂x^-1/₂ = ¹/₂·¹/_x^1/2 = ¹/_2x^1/2.
Dan kunnen we weer de regel toepassen van x^m/n = ⁿÖ(x^m) waardoor je f'(x) = ¹/_2Ö(x) krijgt.

Davy
27-1-2005