WisFaq!

Een convergente rij

Wilt u mij aub helpen met het volgende bewijs te snappen:
"Een convergente rij is begrensd"
Bewijs:
lim v An met n gaande naar oo is fi,
dan is er een N element van de natuurlijke getallen zo dat voor alle n>N geldt |An-fi|<1 met epsilon=1 dus |An|=|(An-fi)+fi|<= |An-fi|+|fi|<1+|fi|
Noem M=max(|A0|,|A1|,|A2|,...,|AN|,1+|fi|)
dan geldt nu voor alle n element van de natuurlijke getallen |An|<=M

Waarom gebruikt men hier max en waarom het max van die getallen???
Wil je me aub hier weer uitleg bijvoegen?
Dank bij voorbaat.

Caroline Vanderheyden
27-9-2001

Antwoord

Definitie:
Een rij A0, A1, A2, ... is begrensd als voor n=0,1,2,... voldaan is aan
|An|<=K, waarbij K een constant getal is.
[eindDef]
Het getal K moet dus onafhankelijk van n.
Uit de definitie van limiet volgt dat er een N is, zodanig dat voor n>N geldt:
|An-fi|We kiezen eps=1 (da's klein genoeg voor ons doel).
Dus:
fi-1 < An < fi + 1
En dus ook voor iedere n > N: |An| < |fi| + 1
Nu moeten we op zoek naar het getal K, dat onafhankelijk is van n.
Je zou nu zeggen, dat K=|fi|+1 wel goed is.
Maar dat geldt pas vanaf een bepaalde index (namelijk de indexen n>N;
dus voor A_N+1,A_N+2,...).
En we willen (moeten) volgens de definitie van begrensdheid de
ongelijkheid |An|<=K aantonen voor alle termen An, dus ook voor A0,A1,A2,.., AN.
Daarom kiezen we de waarde van K gelijk aan max(|A0|,|A1|,|A2|,...,|AN|, |fi|+1).
En dan geldt |An|<=K voor ieder n.

dk
27-9-2001