WisFaq!

Partiële afgeleiden met meerdere variabelen

Geachte,

Ik raak maar niet wijs uit het principe dat schuilgaat achter deze oefening:

gegeven: xz² = y + z
Bepaal (¶²z)/(¶x¶y)
Werk met impliciete functie. Schrijf het eindresultaat zo eenvoudig mogelijk.

Ik het de afleiding naar x en naar y al gevonden:

¶z/¶x = (-z²)/(2xz-1)
¶z/¶y = 1 / (2xz-1)

Maar nu snap ik niet hoe ik verder moet werken... Ik weet wanneer het gevraagde van een functie f moet berekend worden, dat je de afgeleide functie van y nog eens moet afleiden naar x (of de afgeleide functie van x nog eens naar y) maar hoe dit nu moet met deze functie van z, daar raak ik niet wijs uit. Hopelijk kunnen jullie mij hiermee helpen.

Dank bij voorbaat,

Kristof

kristof
23-1-2005

Antwoord

Misschien helpt het z expliciet te noteren als functie van x en y, dus z(x,y).

¶²z/[¶x¶y]
= ¶/¶y[¶z/¶x]
= ¶/¶y[(-z²(x,y))/(2xz(x,y)-1)]

Voer die afleiding uit en bekom een uitdrukking met ¶z/¶y in, die je al gevonden had in de vorige stap.

Een stelling van Schwarz zegt trouwens dat je onder bepaalde regulariteitsvoorwaarden ook ¶/¶x[¶z/¶y] had kunnen nemen, doe dat ter controle.

Je zou moeten bekomen dat

¶²z/[¶x¶y] = -2z(x,y)(xz(x,y)-1) / (2xz(x,y)-1)³

cl
23-1-2005