WisFaq!

Hoofdstelling van de rekenkunde

Bedankt voor het snelle antwoord maar ik bedoel hiermee niet de stelling van de rekenkunde.
Ik zal het volledige bewijs geven dat ik niet snap :

"Elke n een element van N\{0,1}kan geschreven
worden als een produkt van priemgetallen"

bewijs : zij V={n een element van N|n is produkt van priemgetallen} zeker is 2 een element van v (staat vast)

veronderstel dat voor alle p met
2<=p<=n: p=het produkt van de priemgetallen p₁·p₂·...·p_r
(p₁ : bedoelend het eerste priemgetal)

Neem dan n+1:
ofwel is n+1 priem, ofwel is n+1=p·q met 2<=p en q<=n

en dus n+1= (p₁·p₂·...·p_r)·(q₁·q₂·...·q_s)
= (t₁·t₂·...·t_l)

d.w.z. {2,...,n+1}is een deelverz. van V
bijgevolg N\{0,1} is een deelverz. van V

Ik hoop dat u eraan uit kunt. (want ik niet)
Wilt u er aub uitleg bij voegen?
Dank bij voorbaat

Caroline Vanderheyden
26-9-2001

Antwoord

Het bewijs is gebaseerd op het "axioma van volledige inductie" voor de natuurlijke getallen, in dit geval {1,2,3,...}.
Dit axioma luidt:
Stel je wilt een eigenschap E bewijzen voor elk natuurlijk getal n.
Je zet dan de volgende stappen:
1. Je bewijst dat E geldt voor n=1.
2. Je neemt aan dat E geldt voor n = k (de inductieveronderstelling)
3. Je bewijst daarna dat E geldt voor het getal n = k + 1.
Het axioma zegt dan, dat E geldt voor ieder natuurlijk getal.

Soms (zoals ook bij jouw probleem) moet je de verzameling N wat verder inperken.
Aangezien we hier een uitspraak doen over priemgetallen, laten we 1 weg,
omdat dat GEEN priemgetal is.

Nu het bewijs van jouw probleem dat ik wat toelicht:
1. 2 is te schrijven als een "product" van priemgetallen (2 heeft de eigenschap E):
2 = 2 (dus 2 zit in V).
2. Stel de eigenschap geldt voor n = k (dus ook voor iedere n < k).
Voor iedere n <= k geldt dan n = p₁.p₂...p_r (waarbij de p's priemgetallen zijn).
We verklaren dus E gelding voor een deelverzameling van V, te weten {2,3,...,k}.
3. We moeten nu bewijzen, dat ook n=k+1 zo te schrijven is (de eigenschap E heeft).
Daar gaan we.
Voor k+1 hebben we twee mogelijkheden: k+1 is een priemgetal of het is samengesteld.
Is k+1 een priemgetal dan keeft k+1 de bedoelde eigenschap.
Is k+1 samengesteld, dan kunnen we k+1 ontbinden (in twee factoren l en m; da's genoeg).
Dus k+1=l.m
Maar voor l en voor m geldt dat ze beide >=2 en beide <=n zijn.
Volgens de inductieveronderstelling (zie 2.) hebben we dan:
l=p₁...p_r en m=q₁...q_s (waarbij de p's en q' weer priemgetallen zijn, andere dan hierboven).
Zodat k+1=p₁...p_r.q₁...q_s (uitgeschreven dus).
Ook het getal k+1 heeft dus de eigenschap E.
Waarmee met volledige inductie is aangetoond, dat elk getal uit N\{0,1}
bedoelde eigenschap heeft.
Opmerking
We hebben hierboven de hoofdstelling van de rekenkunde dus bewezen.

dk
27-9-2001