WisFaq!

Idempotente matrices

Haai,

kheb maandag examen wiskunde, en deze vraag kan ik niet oplossen.

beschouw de diagonaalmatrix: a11 0 0 ... 0
0 a22 ... 0
.. . .. ... .
0 0 0 ... ann

Wanneer is deze matrix idempotent?
Hoeveel dergelijke (n x n)-matrices bestaan er?

Alvast bedankt!

Lien
student Hogeschool Gent

Lien Delvaux
15-1-2005

Antwoord

Hallo Lien,

Dat een matrix A idempotent is betekent dat A²=A.
Nu, als je A² eens uitschrijft als A*A, en je berekent die matrix, dan zie je meteen dat dit weer een diagonaalmatrix wordt, nu met op de diagonaal de elementen a₁₁², a₂₂²,..., a_nn².

Wanneer is die gelijk aan de oorspronkelijke matrix A? Juist wanneer a₁₁²=a₁₁ en a₂₂²=a₂₂ en ... en a_nn²=a_nn.

De vergelijking x=x² heeft als oplossingen x=1 en x=0. Dat betekent dus dat elk van die diagonaalelementen a_ii ofwel 0 ofwel 1 moet zijn. Als je dus vraagt hoeveel zulke matrices er zijn, moet je dus nagaan hoeveel diagonaalmatrices er bestaan met op de diagonaal enkel nullen en enen. Voor elk diagonaalelement heb je twee keuzes (0 of 1), dus zijn er in het totaal 2ⁿ zulke matrices.

Voorbeeld als n=3: dan zijn de matrices die voldoen aan de opgave, de acht diagonaalmatrices met op de diagonaal respectievelijk volgende elementen:
0,0,0
0,0,1
0,1,0
0,1,1
1,0,0
1,0,1
1,1,0
1,1,1

Groeten,
Christophe.

Christophe
15-1-2005