WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op dinsdag 19 oktober 2021

Leeglopend vat

Ik heb problemen met een vergelijking op te stellen over een leeglopend vat.

Het vat is helemaal gevuld met water. Er zijn 5 gaten: 1 in de bodem(midden) de andere aan de zijkant. Respectievelijk op 0,25 m/ 0,50 / 0,75 en 1,00 m. De hoogte van het vat is 1,20 m, de diameter 0,50 m.

De diameter van een gat (Ag) is 20·10-6 m. Het debiet (q) door te gaten wordt gegeven door:

q = Cd · Ag · 2gh

waarin: g = 9,81 en h de hoogte van de diverse gaten, Cd = 0,85.

Gesteld wordt een vergelijking over het niveau op te stellen.

Ik struikel echter op het punt dat als het debiet verandert de hoogte verandert en als de hoogte verandert het debiet weer verandert.

Robert Schots
11-1-2005

Antwoord

Ik neem aan dat het debiet de hoeveelheid water is die per seconde door een gat wegvloeit, in m3/sec.
Ik neem ook aan dat het vat cilindervormig is.
Stel dat x de hoogte in meters is van de al weggevloeide kolom water.
Dus in het begin is x gelijk aan 0, en op het eind 1.2.
Zolang x kleiner is dan 0.2, staat er boven de diverse gaten een kolom water met achtereenvolgens de volgende hoogten:
gat0: h0=1.2-x
gat1: h1=0.95-x
gat2: h2=0.7-x
gat3: h3=0.45-x
gat4: h4=0.2-x.
Het debiet qi door gati is dus Cd·Ag·2ghi.
Per tijdseenheid ($\Delta$t seconde) stroomt (zolang x kleiner is dan 0.2) weg:
enerzijds (q0+q1+q2+q3+q4)$\Delta$t m3
anderzijds $\pi$·(0.25)2·$\Delta$x m3.
Dus $\Delta$x/$\Delta$t = (q0+q1+q2+q3+q4)/($\pi$·(0.25)2):=f(x) (bereken zelf f(x) door invullen).
Uw dilemma is niet wezenlijk, want in een kleine tijdseenheid veranderen debiet en hoogte maar heel weinig.
Uit de differentiaalvergelijking dx/dt=f(x) vindt men
dt=dx/f(x), en dan door integreren:
na t seconden wordt x gevonden via t=$\int{}$0x 1/f($\chi$) d$\chi$.
Voor x tussen 0.2 en 0.45 gaat het analoog, met een gat minder, etc.

hr
12-1-2005


© 2001-2021 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#32396 - Differentiaalvergelijking - Student hbo