WisFaq!

Integraal

Beste, Ik heb volgende integraal op te lossen:

(2x+1) dx / (x² + 2x + 10)²

Ik weet dat dit op te lossen valt via partieelbreuken en heb al gebrobeert om

Ax+B/(x²+2x+10) + Cx+D/(x²+2x+10)²
== (Ax+B)*(x²+2x+10) + (Cx+D)

te doen, maar dit komt een strijdig stelsel uit.

Daarna heb ik geprobeert om via nulpunten de noemer eenvoudiger te maken, namelijk door
(x²+2x+10)² = x^4 + 4x^3 + 24x^2 + 40x + 100,

maar vind hier geen 0-punten. Hoe los ik dan deze integraal op?

Dimitri Dejonghe
9-1-2005

Antwoord

Dimitri,
(2x+2-1)/(x²+2x+10)² =(2x+2)/(x²+2x+10)²-1/(x²+2x+10)².
Bij de eerste term staat de afgeleide van de noemer in de teller, dus geen probleem.
x²+2x+10=(x+1)²+9.Subst.x+1=3t.
Dit levert een integraalvan de vorm 1/(t²+1)².
Dat moet verder wel lukken.
Succes.

kn
9-1-2005