WisFaq!

Meetkunde: het Delisch probleem

Is het Delische probleem op te lossen met de conchoïde van Nicomedes?

piet hein hoeksma
7-1-2005

Antwoord

Ter verduidelijking (voor andere WisFaq-lezers): onder het 'Delisch probleem' verstaan we het 'verdubbelen van de kubus', dwz. het construeren van (de ribbe van) een kubus met dubbele inhoud van die van een gegeven kubus.

Het antwoord op je vraag is 'ja'. Zie bijvoorbeeld: Conchoid of Nicomedes en Cube Duplication

Het basisprincipe van de constructie berust daarbij op het vinden van twee lijnstukken x en y (als middelevenredigen) bij twee gegeven lijnstukken a en b, zo, dat
a : x = x : y = y : b
Voor het construeren van x en y wordt dan de conchoïde gebruikt.
Duidelijk is dat in dit geval geldt:
x² = ay en xy = ab
waaruit eenvoudig volgt dat
x³ = axy = a²b
Kiezen we dan b = 2a, dan volgt hieruit:
x³ = 2a³
en de kubus met ribbe a is verdubbeld...

Overigens, naar verluidt (Pappos schreef erover, en ook Proklos in zijn commentaar op Euclides) heeft Nicomedes zijn conchoïde ook daadwerkelijk gebruikt om het probleem van de verdubbeling van de kubus (en de trisectie van de hoek) op te lossen.

Nb.
In 'onze' tijd zouden we dus de parabool x² = ay en de hyperbool xy = ab (met b = 2a) gebruiken om x=a.³√2 te vinden... (wel nauwkeurig tekenen)

dk
8-1-2005